考研记录(三) 概率论与数理统计

概率论与数理统计😄

• 如果 $X, Y$ 独立，那么 $f(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)$

• 如果$(X,Y) \backsim f\big(x)$，

  • $Z=X+Y$ 的概率密度:

    $$f_z(z)={\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx} \space=\space {\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y,y)dx}$$

  • $Z=X-Y$ 的概率密度:

    $$f_z(z)={\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,\ x-z)dx} \space=\space {\int_{-\infty}^{+\infty} f(y+z,y)dx}$$

  • $Z=XY$ 的概率密度:

    $$f_z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{1}{\lvert x \rvert}f(x,\cfrac{z}{x})dx =\int_{-\infty}^{+\infty} \cfrac{1}{\lvert y \rvert}f(\cfrac{z}{y},y)dy$$

  • $Z=\cfrac{X}{Y}$ 的概率密度:

    $$f_z(z) \space=\space {\int_{-\infty}^{+\infty}} \lvert y \rvert f(yz,y)dy$$

  • $Z=\max{X,Y}$ 的概率密度:

    $$\begin{align} F_{max}(z)&=P\{\max\{X,Y\} \leqslant z\} = P\{X \leqslant z, Y \leqslant z\} \space=\space F(z,z) \\ f_z(z)&=F_{max}(z) \end{align}$$

  • $Z=\min{X,Y}$ 的概率密度:

    $$\begin{align} F_{min}(z)&=P\{\min\{X,Y\} \leqslant z\} \\ &=P\{\lbrace X \leqslant z \rbrace \cup \{ Y \leqslant z \rbrace\} \\ &=F_X(z)+F_Y(z)-F_{XY}(z,z) \end{align}$$

• 大数定律和中心极限定理

  • 切比雪夫大数定律
    $X_1,X_2,X_3\dots X_n$ 是独立同分布的随机变量序列， 如果方差 $DX_i(i \geqslant 1)$ 且存在上界，即存在常数 C ，
    使 $DX_i \leqslant C$ 对于一切 $i \geqslant 1$ 均成立， 则 ${X_n}$ 服从大数定律：

    $$\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \cfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n EX_i$$

  • 伯努利大数定律
    假设 $\mu_n$ 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，在每次试验中事件
    A 发生的概率为 $\mathcal{p}(0 0$，有

    $$\lim_{n \rightarrow \infty}{P\biggl\{ \biggl\lvert\space \cfrac{\mu_n}{n} - \mathcal{p} \space\biggl\lvert < \varepsilon \biggl\} = 1}$$

  • 辛钦大数定律
    假设${Xn$ 是独立同分布的随机变量序列，如果 $EX_i = \mu(i=1,2,\dots)$ 存在，
    则 $\displaystyle \cfrac{1}{n}\sum{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu$， 即对任意 $\varepsilon > 0$，有

    $$\lim \biggl{\{} \biggl\lvert \cfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \biggl\lvert < \varepsilon \biggl\} = 1$$

  • 独立同分布中心定理
    假设 ${X_n}$ 是独立同分布的随机变量序列，如果 $EX_i=\mu, DX_i=\sigma^2 > 0(i=1,2,3,\dots$ 存在，则 ${X_n}$ 服从中心极限定理，即对任意的实数 $x$, 有

    $$\lim_{n\rightarrow\infty}P\Biggl\{\cfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n \cdot \mu}{\sqrt{n}\cdot \sigma} \leqslant x \Biggl\} ={\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-0.5t^2}dt} = \mathcal{\Phi}(x)$$
  • 棣莫弗-拉普拉斯定理
    假设随机变量 $Y_n \backsim B(n,p)(0<p<1,n\geqslant 1)$，则对任意的实数 $x$，有 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\Biggl\{\cfrac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant x\Biggl\} =\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-0.5t^2}dt=\Phi(x)$$